Question

【题目】已知：如图1，直线y= x+6与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD=2S△PAD ， 求点P的坐标；
（3）如图2，另有一条直线y=﹣x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN=∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：在y= x+6中，

令x=0，则y=6；令y=0，则x=﹣8，

∴A（﹣8，0），C（0，6），

∵点B的横坐标为2，

∴B（2，0），

设抛物线解析式为y=a（x+8）（x﹣2），则

把C（0，6）代入，得6=a×（﹣16），

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+8）（x﹣2），

即

（2）解：如图所示，过P作PH⊥AO于H，

∵S△PCD=2S△PAD，

∴AP：PC=1：2，

∵PH∥CO，

∴AH：HO=1：2，

即OH= AO，

又∵AO=8，

∴OH=8× = ，

∴点P的横坐标为 ，

在直线y= x+6中，当x= 时，y= ×（ ）+6=2，

∴点P的纵坐标为2，

∴点P的坐标为（ ，2）

（3）解：分两种情况：

①当点Q1为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q1到直线MN和直线MO的距离相等，

∵直线y=﹣x与直线y= x+6交于点M，

∴M（﹣ ， ），

又∵A（﹣8，0），

∴由两点间距离公式可得AM= = ，

∵∠AMN=∠AOM，∠MAN=∠OAM，

∴△AMN∽△AOM，

∴AM2=AN×AO，即（ ）2=AN×8，

∴AN= ，

∴ON=AO﹣AN= ，

即N（﹣ ，0），

∴由两点间距离公式可得MN= ，MO= ，

∵MQ1平分∠NMO，

∴ = = ，

∴OQ1= NO= = ，

即点Q1的坐标为（ ，0）；

②当点Q2为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q2到直线MN和直线MO的距离相等，

根据Q1（ ，0），M（﹣ ， ），可得

直线MQ1解析式为y=﹣3x﹣ ，

∵MQ1⊥MQ2，

∴可设直线MQ2解析式为y= x+b，

把M（﹣ ， ）代入，可得b= ，

∴直线MQ2解析式为y= x+ ，

∴当y=0时，0= x+ ，

解得x=﹣ ，

即点Q2的坐标为（ ，0）．

综上所述，点Q的坐标为（ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）根据直线y= x+6，可得A（﹣8，0），C（0，6），设抛物线解析式为y=a（x+8）（x﹣2），把C（0，6）代入，可得抛物线的函数关系式；（2）过P作PH⊥AO于H，根据S△PCD=2S△PAD ， 可得AP：PC=1：2，即AH：HO=1：2，进而得到OH= AO=8× = ，在直线y= x+6中，当x= 时，y= ×（ ）+6=2，可得点P的坐标为（ ，2）；（3）分两种情况进行讨论：①当点Q1为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q1到直线MN和直线MO的距离相等；②当点Q2为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q2到直线MN和直线MO的距离相等，根据相似三角形的性质求得N（﹣ ，0），再根据角平分线的性质可得点Q1的坐标为（ ，0）；最后根据MQ1⊥MQ2 ， 可得直线MQ2解析式为y= x+ ，进而得到点Q2的坐标为（ ，0）．
【考点精析】通过灵活运用角平分线的性质定理和相似三角形的判定与性质，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．