Question

【题目】如图，点，，，是直径为的上的四个点，是劣弧的中点，与交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求证：是正三角形；

（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACH的面积.

【解析】

试题分析：（1）由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB，证明△ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论；

（2）求出DC=，连接OC、OD，如图所示：证出BC=DC=，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB= =2，得出OB=OC=OD=DC=BC=，证出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出结论；

（3）由切线的性质得出OC⊥CH，求出∠H=30°，证出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案．

试题解析：（1）∵C是劣弧 的中点，∴∠DAC=∠CDB，

∵∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴ ，∴DC2=CEAC；

（2）∵AE=2，EC=1，∴AC=3，∴DC2=CEAC=1×3=3，∴DC=，

连接OC、OD，如图所示：

∵C是劣弧的中点，∴OC平分∠DOB，BC=DC=，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==2，

∴OB=OC=OD=DC=BC=，∴△OCD、△OBC是正三角形，∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，

∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°，

∵OA=OD，∴△AOD是正三角形；

（3）∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH，∵∠COH=60°，∴∠H=30°，

∵∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠H=∠BAC，∴AC=CH=3，

∵AH=3，AH上的高为BCsin60°= ，∴△ACH的面积= ×3×= ．