Question

【题目】如图，在△ABD中，AB=AD, 将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C. E是BD上一点，且BE>DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE.

（1）依题意补全图形；

（2）判断∠DFC与∠BAE的大小关系并加以证明；

（3）若∠BAD=120°，AB=2，取AD的中点G，连结EG，求EA+EG的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）判断：∠DFC=∠BAE. 证明见解析；（3）EA+EG的最小值为.

【解析】（1）将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE>DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE，据此画图即可；（2）根据△ABE≌△CBE（SAS），可得∠BAE=∠BCE．再根据AD∥BC，可得∠DFC=∠BCE，进而得出∠DFC=∠BAE；（3）连接CG，AC，根据EC+EG≥CG可知，CG长就是EA+EG的最小值，根据△ACD为边长为2的等边三角形，G为AD的中点，运用勾股定理即可得出CG=，进而得到EA+EG的最小值．

（1）补全图形如下：

（2）判断：∠DFC=∠BAE.

证明：∵将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C.

∴BC=BA=DA=CD. ∴四边形ABCD为菱形.

∴∠ABD=∠CBD，AD∥BC.

又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）.

∴∠BAE=∠BCE.

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠BCE.

∴∠DFC=∠BAE.

（3）连CG, AC.

由轴对称可知，EA+EG=EC+EG,

CG长就是EA+EG的最小值.

∵∠BAD=120°，四边形ABCD为菱形，

∴∠CAD=60°.

∴△ACD为边长为2的等边三角形.

可求得CG=.

∴EA+EG的最小值为.