Question

【题目】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”．

（1）若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，则c=　 　；

（2）若（x﹣2）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；

（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）4m2﹣5mn+n2=0；（3）a，b，c之间的关系是2b2﹣9ac=0.7．

【解析】【试题分析】（1）根据倍根方程的定义，利用根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，求出c=2；

（2） 根据倍根方程的定义， ，进行分类讨论，当x2=1时， ，即m=n，代入代数式4m2﹣5mn+n2=0；当x2=4时， ，即n=4m，代入代数式4m2﹣5mn+n2=0．

（3）根据倍根方程的定义，引入参数t, a（x﹣t）（x﹣2t）=0然后对应ax2+bx+c=0，则

b=-3at, ,然后消去参数t,即a，b，c之间的关系是2b2﹣9ac=0.

【试题解析】

（1）∵一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，

∵x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，

∴c=2，

故答案为：2；

（2）解方程（x﹣2）（mx+n）=0（m≠0）得，x1=2， ．

∵方程两根是2倍关系，

∴x2=1，

当x2=1时， ，即m=n，

代入代数式4m2﹣5mn+n2=0，

当x2=4时， ，即n=4m，

代入代数式4m2﹣5mn+n2=0．

综上所述，4m2﹣5mn+n2=0；

（3）根据“倍根方程”的概念设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为t和2t．

∴原方程可以改写为a（x﹣t）（x﹣2t）=0，

∴ax2+bx+c=ax2﹣3atx+2at2，

∴．

解得2b2﹣9ac=0．

∴a，b，c之间的关系是2b2﹣9ac=0.