Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．

（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

由折叠性质得：△ANM≌△ADM，

∴∠MAN=∠DAM，

∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，

∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，

∴∠DAM=30°，

∴DM=ADtan∠DAM=3×tan30°=3× =

（2）

延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，

∴∠DMA=∠MAQ，

由折叠性质得：△ANM≌△ADM，

∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，

∴∠MAQ=∠AMQ，

∴MQ=AQ，

设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，

∵∠ANM=90°，

∴∠ANQ=90°，

在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，

∴（x+1）2=32+x2，

解得：x=4，

∴NQ=4，AQ=5，

∵AB=4，AQ=5，

∴S△NAB= S△NAQ= × ANNQ= × ×3×4= ；

（3）

过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，

∴∠HBA=∠BFC，

∵∠AHB=∠BCF=90°，

∴△ABH∽△BFC，

∴ ，

∵AH≤AN=3，AB=4，

∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：

由折叠性质得：AD=AH，

∵AD=BC，

∴AH=BC，

在△ABH和△BFC中， ，

∴△ABH≌△BFC（AAS），

∴CF=BH，

由勾股定理得：BH= = = ，

∴CF= ，

∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣

【解析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=ADtan∠DAM= 即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例 = ，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．
【考点精析】关于本题考查的角平分线的性质定理和矩形的性质，需要了解定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能得出正确答案．