Question

【题目】已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，

∵抛物线经过原点，

∴0=a（0﹣1）2+2，

∴a=﹣2，

∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x

（2）

∵抛物线经过原点，

∴设抛物线为y=ax2+bx，

∵h=﹣ ，

∴b=﹣2ah，

∴y=ax2﹣2ahx，

∵顶点A（h，k），

∴k=ah2﹣2ah，

抛物线y=tx2也经过A（h，k），

∴k=th2，

∴th2=ah2﹣2ah2，

∴t=﹣a，

（3）

∵点A在抛物线y=x2﹣x上，

∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，

∴h= ，

∵﹣2≤h＜1，

∴﹣2≤ ＜1，

①当1+a＞0时，即a＞﹣1时， ，解得a＞0，

②当1+a＜0时，即a＜﹣1时， 解得a≤﹣ ，

综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣

【解析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣ ，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．