Question

【题目】钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，AB=AC，∠ACB=α，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．，点E在AD延长线上．

①当α=30°，点D恰好为BC中点时，补全图1直接写出∠BAE=　°，

∠BEA=　°；

②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；

Answer 1

【答案】①60，30;②∠BEA=α

【解析】

①只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．

解：（1）①补全图1，如图所示．

∵AB=AC，BD=DC，

∴AE⊥BC，

∴EB=EC，∠ADB=90°，

∵∠ABC=30°，

∴∠BAE=60°

∵BC=BE，

∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，

∴∠BEC=60°，∠BEA=30°

故答案为60，30．

②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=α，

∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，

∴∠BAM=∠BAN，

∴BM=BN，

在Rt△BMF和Rt△BNE中，

，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE．

∴∠BEA=∠F，

∵BF=BC，

∴∠F=∠C=α，

∴∠BEA=α．