Question

【题目】如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点， ，垂足为E.过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF.现有如下结论：

①BF=2；②；③AD平分∠CAB；④AF=；⑤∠CAF=∠CFB．其中正确的结论是（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④⑤ D. ①②④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，

∴BD=CD=2，∠CAB=∠CBA=45°，

∵BF∥AC，DF⊥AB于点E，

∴∠FBA=∠CAB=45°，∠DEB=90°，

∴∠DBF=90°，∠BDF=45°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∴BF=BD=CD=2；即结论①正确；

（2）如下图，∵在△ACD和△CBF中，AC=BC，∠ACD=∠CBF=90°，CD=BF，

∴△ACD≌△CBF，

∴∠CAD=∠BCF，

∵∠ACF+∠BCF=90°，

∴∠ACF+∠CAD=90°，

∴∠AOC=90°，

∴AD⊥CF；即结论②正确；

（3）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，

∴AD是△ABC的中线，但不是△ABC的角平分线；即结论③错误；

（4）由（1）可知，△BDF中，BD=BF，BE⊥DF，

∴AE是DF的垂直平分线，

∴AF=AD，

∵在△ACD中，∠ACD=90°，AC=4，CD=2，

∴AD=，

∴AF=，即结论④正确；

（5）∵△ACD≌△CBF，

∴AD=CF，

∵AD=AF，

∴AF=CF，

∴∠CAF=∠ACF，

∵BF∥AC，

∴∠ACF=∠CFB，

∴∠CAF=∠CFB；即结论⑤正确.

综上所述，正确的结论是①②④⑤.

故选D.