Question

【题目】已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：△ADE∽△DCF；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时， 成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，请直接写出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠CDG=90°，

又∵DE⊥CF，∠CDG+∠DCF=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∴△ADE∽△DCF．

（2）

解：当∠B+∠EGC=180°时， 成立，理由如下：

在AD的延长线上取点M，使CM=CF，如图1所示：

则∠CMF=∠CFM．∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，

∵∠B+∠EGC=180°，

∴∠BEG+∠FCB=360°﹣（∠B+∠EGC）=180°，

又∵∠BEG+∠AED=180°，

∴∠AED=∠FCB，

∴∠CMF=∠AED．

∴△ADE∽△DCM，

∴ ，

∴ ；

（3）

解： ；理由如下：

连接AC、BD，交于点M，作CN⊥AD于N，如图2所示：

∵∠BAD=90°，AB=6，AD=8，

∴BD= = =10，

在△ABD和△CBD中， ，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ABD=∠CBD，

∵AB=CB，

∴BD⊥AC，AM=CM，

∴∠AMD=90°=∠BAD，

又∵∠ADB=∠MDA，

∴△ABD∽△MAD，

∴AD：DM=BD：AD，

∴AD2=BDDM，即82=10DM，

∴DM=6.4，

∴AM= = =4.8，

∴AC=2AM=9.6，

∵△ACD的面积= ADCN= ACDM，

∴8×CN=9.6×6.4，

解得：CN=7.68，

∵DE⊥CF，

∴∠CFN=∠DAE，

∵CN⊥AD，

∴∠CNF=90°=∠DAE，

∴△ADE∽△NCF，

∴ = = ．

【解析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ADC=90°，由角的互余关系整除∠ADE=∠DCF，即可得出△ADE∽△DCF；（2）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，由等腰三角形的性质得出∠CMF=∠CFM．由平行四边形的性质得出∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，证出∠BEG+∠FCB=180°，得出∠AED=∠FCB，因此∠CMF=∠AED．证明△ADE∽△DCM，得出对应边成比例 ，即可得出结论；（3）连接AC、BD，交于点M，作CN⊥AD于N，由勾股定理求出BD，由SAS证明△ABD≌△CBD，得出∠ABD=∠CBD，由等腰三角形的性质得出AM=CM，∠AMD=90°=∠BAD，证明△ABD∽△MAD，得出对应边成比例求出DM，由勾股定理求出AM，由△ACD的面积求出CN，证明△ADE∽△NCF，得出对应边成比例，即可得出结果．
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质，需要了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能得出正确答案．