Question

【题目】如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．

（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；

（2）求证：BM＝DM+DC；

（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝∠CAB，见解析；（2）见解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，见解析

【解析】

（1）由三角形内角和定理得出，，又∠ABE＝∠ACF，则进行计算即可得解；

（2）作AN⊥CF于N，连接AD，易证，由AAS证得△AMB≌△ANC得出BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，由HL证得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出结论；

（3）作AN⊥CF于N，连接AD，易证，由AAS证得△AMB≌△ANC得出，AM＝AN，由HL证得Rt△AMD≌Rt△AND得出DM＝DN，即可得出结论．

（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：

∵，

，

∠ABE＝∠ACF，

∴

＝

＝

∴；

（2）证明：作AN⊥CF于N，连接AD，如图1所示：

∵AM⊥BD，

∴，

在△AMB和△ANC中，

，

∴△AMB≌△ANC，

∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，

在Rt△AMD和Rt△AND中，

，

∴Rt△AMD≌Rt△AND，

∴DM＝DN，

∴BM＝DM+DC；

（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：

作AN⊥CF于N，连接AD，如图2所示：

∵AM⊥BD，

∴，

在△AMB和△ANC中，

，

∴△AMB≌△ANC，

∴，AM＝AN，

在Rt△AMD与Rt△AND中，

，

∴Rt△AMD≌Rt△AND，

∴DM＝DN，

∴．