Question

【题目】如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC．求证：

（1）△ABC∽△POM；
（2）2OA2=OPBC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵直线PM切⊙O于点M，

∴∠PMO=90°，

∵弦AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PMO，

∵AC∥PM，

∴∠CAB=∠P，

∴△ABC∽△POM；

（2）证明：∵△ABC∽△POM，

∴ ，

又AB=2OA，OA=OM，

∴ ，

∴2OA2=OPBC．

【解析】（1）因为PM切⊙O于点M，所以∠PMO=90°，又因为弦AB是直径，所以∠ACB=∠PMO=90°，再有条件弦AC∥PM，可证得∠CAB=∠P，进而可证得△ABC∽△POM；（2）由（1）可得 ，又因为AB=2OA，OA=OM；所以2OA2=OPBC．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．