Question

【题目】矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），直线 与BC相交于点D，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，试判断△OAD的形状，并说明理由．
（3）若点P是抛物线的对称轴上的一个动点，对称轴与OD、x轴分别交于点M、N，问：是否存在点P，使得以点P、O、M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得，点D的纵坐标为3，

∵点D在直线y= x上，

∴点D的坐标为（9，3），

将点D（9，3）、点A（10，0）代入抛物线可得： ，

解得： ，

故抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x．

（2）

解：∵点D坐标为（9，3），点A坐标为（10，0），

∴OA=10，OD= =3 ，AD= = ，

从而可得OA2=OD2+AD2，

故可判断△OAD是直角三角形．

（3）

解：①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，

此时∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，

故可得△OPM∽△ODA，OP= OA=5，

即可得此时点P的坐标为（5，0）．

②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，

由题意可得，点M的横坐标为5，代入直线方程可得点M的纵坐标为 ，

故可求得OM= ，

∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，

∴∠OP′M=∠DOA，

∴△P′OM∽△ODA，

故可得 = ，即 = ，

解得：MP′= ，

又∵MN=点M的纵坐标= ，

∴P′N= ﹣ =15，

即可得此时点P′的坐标为（5，﹣15）．

综上可得存在这样的点P，点P的坐标为（5，0）或（5，﹣15）．

【解析】（1）根据题意可得出点D的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点D的横坐标，从而将点D和点A的坐标代入可得出抛物线的解析式．（2）分别求出OA、OD、AD的长度，继而根据勾股定理的逆定理可判断出△OAD是直角三角形．（3）①由图形可得当点P和点N重合时能满足△OPM∽△ODA，②过点O作OD的垂线交对称轴于点P′，此时也可满足△P′OM∽△ODA，利用相似的性质分别得出点P的坐标即可．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．