Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕 点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF．

(1)如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形．

(2)如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论；

（2）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论．

试题解析：(1)证明：∵在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ABP=90，

又∵BF=BP，

∴△BCF≌△BAP(SAS)，

∴CF=AP，∠BFC=∠BPA．

又由旋转得：∠EPA=90，PA=PE，

∴PE=CF．∵∠BFC+∠BCF=90

∴∠BPA+∠BCF=90，

∴∠BPA+∠EPA+∠BCF=180，

∴PE∥CF．

∴四边形PCFE为平行四边形．

(2)四边形PCEF是平行四边形．

证明：同(1)得：△BCF≌△BAP，

∴∠BCF=∠BAP，AP=CF．

由旋转得：AP=PE，∠EPA=90，

∴PE=CF．

∴∠BPE+∠BPA=90，

∵在△ABP中，∠ABP=90

∴∠BAP+∠BPA=90，∠BPE=∠BAP，

∴∠BPE=∠BCF，

∴PE∥CF，

∴四边形PCFE为平行四边形．