Question

【题目】如图，在中，,垂足为，为直线上一动点(不与点重合)，在的右侧作，使得,连接．

（1）求证：；

（2）当在线段上时

① 求证：≌；

② 若, 则；

（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）20°或40°或100°．

【解析】

（1）证明Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），即可解决问题．

（2）①根据SAS即可证明；

②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明；

（3）分三种情形分别求解即可解决问题；

（1）∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠AHB=∠AHC=90°，

在Rt△AHB和Rt△ACH中，

，

∴Rt△AHB≌Rt△AHC（HL），

∴∠ABC=∠ACB．

（2）①如图1中，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE．

②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE；

理由：如图2中，∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠BAH=∠CAH，

∵∠BAH=∠CAE，

∴∠CAH=∠CAE，

∵AH=AE，

∴AC⊥DE．

（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．

理由：①如图3中，当点D在CB的延长线上时，

∵CE∥AB，

∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，

∵△DAB≌△EAC，

∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，

∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，

∴△ABC是等边三角形，

∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．

②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，此时∠ADB=180°-20°-60°=100°．

③当点D在BC 延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°，

综上所述，满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°．