Question

【题目】如图①，若二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y= x的图象的对称点为C．

（1）求b、c的值；
（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；
（3）如图②，过点B作DB⊥x轴交正比例函数y= x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y= x的图象于点E，连结AD、CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（﹣2，0），B（3，0）在抛物线y= x2+bx+c上，

∴ ，

解得：b=﹣ ，c=﹣

（2）

解：设点F在直线y= x上，且F（2， ）．

如答图1所示，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH= ，OH=2，

∴tan∠FOB= = ，∴∠FOB=60°．

∴∠AOE=∠FOB=60°．

连接OC，过点C作CK⊥x轴于点K．

∵点A、C关于y= x对称，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°．

∴∠COK=180°﹣∠AOE﹣∠COE=60°．

在Rt△COK中，CK=OCsin60°=2× = ，OK=OCcos60°=2× =1．

∴C（1，﹣ ）．

抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣ ，当x=1时，y=﹣ ，

∴点C在所求二次函数的图象上

（3）

解：假设存在．

如答图1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC= = = ．

如答图2所示，∵OB=3，∴BD=3 ，AB=OA+OB=5．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD= = =2 ．

∵点A、C关于y= x对称，

∴CD=AD=2 ，∠DAC=∠DCA，AE=CE= AC= ．

连接PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE．

在四边形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四边形内角和等于360°），

即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，

∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°．

又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形内角和定理），

∴∠AEP=∠CQE．

在△APE与△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，

∴△APE∽△CEQ，

∴ ，即： ，

整理得：2t2﹣ t+3=0，

解得：t= 或t= （t＜ ，所以舍去）

∴存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分∠PQC，此时t=

【解析】（1）利用待定系数法求出b，c的值；（2）如答图1所示，关键是求出点C的坐标．首先求出直线y= x与x轴所夹锐角为60°，则可推出在Rt△COK中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出点C的坐标；（3）如答图2所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，证明△APE∽△CEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．