Question

【题目】如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）

A.2
B.4
C.6
D.8

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，如图1，

设P点坐标（n， ），

∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，

∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），

∴OC=OG，

∴∠OGC=∠OCG=45°

∵PB∥OG，PA∥OC，

∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，

∴PA=PB，

∵P点坐标（n， ），

∴OD=CQ=n，

∴AD=AQ+DQ=n+4；

∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，

∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= ；

同理可证：BG= BF= PD= ，

∴BE=BG+EG= + ；

∵∠AOB=135°，

∴∠OBE+∠OAE=45°，

∵∠DAO+∠OAE=45°，

∴∠DAO=∠OBE，

∵在△BOE和△AOD中， ，

∴△BOE∽△AOD；

∴ = ，即 = ；

整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；

所以答案是：D．

方法2、如图2，

过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，

∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，

∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），

∴OC=OG，

∴∠OGC=∠OCG=45°

∵PB∥OG，PA∥OC，

∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，

∴PA=PB，

∵P点坐标（n， ），

∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ）

∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，

∴OC=4，

当y=0时，x=﹣4．

∴OG=4，

∵∠AOB=135°，

∴∠BOG+∠AOC=45°，

∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，

∴∠AGO=∠OCG=45°，

∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，

∴∠OBG=∠AOC，

∴△BOG∽△OAC，

∴ = ，

∴ = ，

在等腰Rt△BFG中，BG= BF= ，

在等腰Rt△ACD中，AC= AD= n，

∴ ，

∴k=8，

所以答案是：D．

【考点精析】关于本题考查的平行线的判定与性质和相似三角形的判定与性质，需要了解由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．