Question

【题目】某公司生产的某种时令商品每件成本为20元， 经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量 (件)与时间 (天)的关系如下表：

时间/天	1	3	6	10	36	…
日销售量/件	94	90	84	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格 (元/件)与时间 (天)的函数关系式为

(1≤≤20且为整数)，后20天每天的价格 (元/件)与时间(天)的函数关系式 (21≤≤40且为整数)．

下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 (件)与(天)之间的关系式；

(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少?

(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品，就捐赠元利润(＜4)给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间(天)的增大而增大，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）所求关系式为.（2）当=21时，P2有最大值，为513.（3）3≤＜4.

【解析】（1）从表格中看出每天比前一天销售2件，所以判断为一次函数关系式；

（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后半截得出结论；

（3）列式表示前20天中每天扣捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围.

解：（1）由题意可知， （件）与（天）满足一次函数关系.

设一次函数关系式为，将和分别代入一次函数关系式中，得

解得，∴.

经检验，其他与的对应值均适合以上关系式，故所求关系式为.

（2）设前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，

则.

∵1≤≤20，∴当=14时，P1有最大值，为578.

，

∵21≤≤40，此函数图象的对称轴是直线，

∴当=21时，P2有最大值，为.

∵578＞513，∴第14天的日销售利润最大，为578元.

（3）P3=（-2t+96）
=+（14+2a）t+480-96n，
∴对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P3随t的增大而增大，
又∵a＜4，
∴3≤a＜4．

“点睛”解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出后续验证其正确性；最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键. 同时注意自变量的取值范围.