Question

【题目】如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．

（1）连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在正方形ABCD中，

∵AB=AD，∠BAD=∠B=90°，

由题意得：AP=BQ，

在△ADP与△ABQ中， ，

∴△ADP≌△ABQ，

∴∠BAQ=∠ADP，

∵∠PAF+∠DAF=90°，

∴∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠AFD=90°，

∴AQ⊥DP

（2）解：∵正方形边长为4，而t=3时，

∴AD=AB=4，AP=BQ=3，

∴PD=AQ=5，

∵∠PAF=∠ADP，∠AFP=∠PAD=90°，

∴△APF∽△ADP，

∴ ，

∴PF= ，

∴DF= ，

∵∠AFP=∠AFD=90°，

∴△APF∽△ADF，

∴ ，

∴AF= ，

∴FQ= ，

∴tan∠QDF= =

【解析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=∠B=90°，推出△ADP≌△ABQ，由全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ADP，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理得到PD=AQ=5，推出△APF∽△ADP，根据相似三角形的性质得到 ，求得PF= ，得到DF= ，同理得到AF= ，求得FQ= ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【考点精析】掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．