Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，

如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB= ，

∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1，

∵∠EOF=2∠BAC=120°，

而∠EOH=∠HOF，

∴∠EOH=60°，

在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH= sin60°= ，

∵OH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2EH= ，

即线段EF长度的最小值为 ．

所以答案是 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解垂线段最短的相关知识，掌握连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用，以及对垂径定理的推论的理解，了解推论1：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧C、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等．