Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8．

（1）求点B的坐标和直线AB的函数表达式；

（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．

①用含m的代数式表示△ABP的面积；

②当S△ABP=6时，求点P的坐标；

③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（4，0），直线AB的函数表达式为y=﹣x+4；

（2）①S△ABP=2m﹣4；②点P的坐标为（2，5）；③存在，点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，结合S△AOB=8即可求出b值，进而可得出点B的坐标和直线AB的函数表达式；

（2）①由OB的长度结合直线a垂直平分OB，可得出OE、BE的长度，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可用含m的代数式表示出DP的值，再利用三角形的面积公式即可用含m的代数式表示△ABP的面积；

②由①的结论结合S△ABP=6，即可求出m值，此题得解；

③分点Q在x轴及y轴两种情况考虑，利用三角形的面积公式即可求出点Q的坐标，此题得解．

解：（1）∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，

∴点A的坐标为（0，b），点B的坐标为（b，0）．

∵S△AOB=b2=8，

∴b=±4．

∵点A在y轴正半轴上，

∴b=4，

∴点B的坐标为（4，0），直线AB的函数表达式为y=﹣x+4；

（2）①∵直线a垂直平分OB，OB=4，

∴OE=BE=2，

当x=2时，y=﹣x+4=2，

∴点D的坐标为（2，2），

∵点P的坐标为（2，m）（m＞2），

∴PD=m﹣2，

∴S△ABP=S△APD+S△BPD，

=DPOE+DPBE，

=×2（m﹣2）+×2（m﹣2）=2m﹣4；

②∵S△ABP=6，

∴2m﹣4=6，

∴m=5，

∴点P的坐标为（2，5）；

③假设存在．

当点Q在x轴上时，设其坐标为（x，0），

∵S△ABQ=AOBQ=×4×|x﹣4|=6，

∴x1=1，x2=7，

∴点Q的坐标为（1，0）或（7，0）；

当点Q在y轴上时，设其坐标为（0，y），

∵S△ABQ=BOAQ=×4×|y﹣4|=6，

∴y1=1，y2=7，

∴点Q的坐标为（0，1）或（0，7）．

综上所述：假设成立，即在坐标轴上，存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，且点Q的坐标为（1，0）或（7，0）或（0，1）或（0，7）．