Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠C=30°，CE=6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵D是BC的中点，O是AB的中点，

∴OD∥AC，

∴∠CED=∠ODE．

∵DE⊥AC，

∴∠CED=∠ODE=90°．

∴OD⊥DE，OD是圆的半径，

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，

∵AB为直径，

∴∠BDA=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，

在Rt△CED中，cos∠C= ，cos30°= ，

解得：CD=4 ，

∵点D为BC的中点，

∴BD=CD=4 ，

∴AC=AB，

∴∠B=∠C=30°，

在Rt△ABD中．cos∠B= ，cos30°= ，

解得AB=8，

故⊙O的半径为4．

【解析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，所以OD⊥DE．（2）通过相似三角形的性质或三角函数的定义求出AB或圆的半径的值即可．
【考点精析】利用切线的判定定理和解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．