Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．

（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；
（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），

∴设y=a（x﹣2）2﹣1，

将C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，

解得：a=1，

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3

（2）

解：令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∵点A在点B的右边，

∴A （3，0），B（1，0）

设直线AC的函数关系式为y=mx+n，

将A（3，0），C（0，3）代入上式得， ，解得： ，

∴y=﹣x+3．

∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y轴，

∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），

∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=

∴当 时，l取得最大值为

（3）

解：分两种情况：

①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，

由（2）可知B（1，0），

∴P（1，0）．

②当点A为直角顶点时，如图2，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAD=45°，

当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，

∴AO平分∠DAP，

又∵PD∥y轴，

∴PD⊥AO，

∴P与D关于x轴对称，

∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），

∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，

整理得x2﹣5x+6=0，

∴x1=2，x2=3（舍去），

当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，

∴P的坐标为P（2，﹣1）．

∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，﹣1）

【解析】（1）设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n的值，故此可得到AC的解析式为y=﹣x+3上，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依据l=Dy﹣Py列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．