Question

【题目】如图，是的外接圆的直径，点P在BC延长线上，且满足.

(1)求证：PA是的切线；

（2）弦交于点F，若,求AC的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2.

【解析】

（1）根据AD是⊙O的直径，由此可推导得出∠CAD+∠D=90°，再根据∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，继而可得∠PAD=90°，从而可推得PA是⊙O的切线；

(2)证明ΔABC∽ΔACF，根据相似三角形对应边成比例即可求得AC的长.

（1）∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠D=90°，

∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，

∴∠CAD+∠PAC=90°，∴∠PAD=90°，

∴PA⊥AD，

∴PA是⊙O的切线；

(2)∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAD=90°，

∵∠CAD+∠D=90°，∴∠D=∠ACF，

∴∠B=∠ACF，

∵∠BAC=∠CAF，

∴ΔABC∽ΔACF，

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