Question

【题目】已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点F，连接ED，且有ED=EF．
（1）如图1，求证：ED为⊙O的切线；
（2）如图2，直线ED与切线AG相交于G，且OF=2，⊙O的半径为6，求AG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵ED=EF，

∴∠EDF=∠EFD，

∵∠EFD=∠CFO，

∴∠EDF=∠CFO．

∵OD=OC，

∴∠ODF=∠OCF．

∵OC⊥AB，

∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，

∴ED为⊙O的切线

（2）解：连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，

由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，

由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，

解得，a=8，即ED=8，EO=10．

∵sin∠EOD= = ，cos∠EOD= = ，

∴DM=ODsin∠EOD=6× = ，MO=ODcos∠EOD=6× = ，

∴EM=EO﹣MO=10﹣ = ，EA=EO+OA=10+6=16．

∵GA切⊙O于点A，

∴GA⊥EA，

∴DM∥GA，

∴△EDM∽△EGA，

∴ = ，即 = ，

解得，GA=12．

【解析】（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度