Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O切BC于点D，交AC于点E，且AD=BD．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如图2，连接OC，求cos∠ACO的值．

Answer 1

【答案】证明：（1）连结OD、OE，如图1，

∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵AD=BD，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2=∠B，
∵∠1+∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴△OAE为等边三角形，
∴AE=OE，
∴AE=OD，
∵AE∥OD，
∴四边形AEDO为平行四边形，
∴DE∥AB；
（2）解：作OH⊥AE于H，如图2，

则AH=HE，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOH中，∵∠OAH=60°，
∴AH=OA=r，OH=AH=r，
易得四边形ODCH为矩形，
∴CH=OD=r，
在Rt△OCH中，OC= ，
∴cos∠HCO= ，
即cos∠ACO=，
【解析】（1）连结OD、OE，如图1，根据切线性质得OD⊥BC，则OD∥AC，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，再利用AD=BD得到∠1=∠B，所以∠1=∠2=∠B，然后根据三角形内角和可计算出∠1=∠2=∠B=30°，于是可判断△OAE为等边三角形，得到AE=OE，再判断四边形AEDO为平行四边形，从而得到DE∥AB；
（2）作OH⊥AE于H，如图2，则AH=HE，设⊙O的半径为r，在Rt△AOH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=AH=r，易得四边形ODCH为矩形，则CH=OD=r，再利用勾股定理计算出OC=r，然后根据余弦的定义求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．