Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中A（0，a）、B（b，0），且满足4（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，点P（m，m）在线段AB上

（1）求A、B的坐标；

（2）如图1，若过P作PC⊥AB交x轴于C，交y轴交于点D，求的值；

（3）如图2，以AB为斜边在AB下方作等腰直角△ABC，CG⊥OB于G，设I是∠OAB的角平分线与OP的交点，IH⊥AB于H．请探究的值是否发生改变，若不改变请求其值；若改变请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，2），B（4，0）；（2）5；（3）的值不变，为2．

【解析】

（1）根据非负数的性质即可解决问题．

（2）先求出直线AB的解析式，利用方程组求出点P坐标，再求出直线PC的解析式，求出点C坐标即可解决问题．

（3）如图2中，作IE⊥OA于E，CM⊥y轴于M，IF⊥OB于F．由△ACM≌△BCG，推出AM＝BG，CM＝CG，推出BH﹣AH＝OB﹣OA＝2CG，即可解决问题．

（1）∵4（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，

又∵4（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，

∴a＝2，b＝4，

∴A（0，2），B（4，0）．

（2）如图中，

∵A（0，2），B（4，0），

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，

∵P（m，m），

∴点P在直线y＝x上，

由解得，

∴点P（，），

∵PC⊥AB，

∴直线PC的解析式为y＝2x﹣，

∴点C坐标为（，0），

∴OC＝，BC＝，

∴＝＝5．

（3）的值不变．理由如下：

如图2中，作IE⊥OA于E，CM⊥y轴于M，IF⊥OB于F．

∵设I是∠OAB的角平分线与OP的交点，OP平分∠AOB，

∴I是内心，

∵IH⊥AB，IE⊥OA，IF⊥OB，

∴IE＝IH＝IF，易知AH＝AE，BF＝BH，

∴BH﹣AH＝BF﹣AE＝OB﹣OA，

∵∠MCG＝∠ACB＝90°，

∴∠ACM＝∠BCG，

在△ACM和△BCG中，

，

∴△ACM≌△BCG（AAS），

∴AM＝BG，CM＝CG，

∵∠OMC＝∠OGC＝∠MOG＝90°，

∴四边形OMCG是矩形，

∵CM＝CG，

∴四边形OMCG是正方形，

∴OM＝OG＝CG＝CM，

∴BH﹣AH＝OB﹣AO＝（BG+OG）﹣（AM﹣OM）＝2CG，

∴＝＝2．