Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且∠MDN+∠BAC＝180°．

（1）求证AE＝AF；

（2）若AD＝6，DF＝2，求四边形AMDN的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）依据HL判定Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；
（2）判定△DEM≌△DFN，可得S△DEM=S△DFN，进而得到S四边形AMDN=S四边形AEDF，求得S△ADF=AF×DF=2，即可得出结论．

（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴DE＝DF，

又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠AED＝∠AFD＝90°，

又∵AD＝AD，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF；

（2）∵∠MDN+∠BAC＝180°，

∴∠AMD+∠AND＝180°，

又∵∠DNF+∠AND＝180°

∴∠EMD＝∠FND，

又∵∠DEM＝∠DFN，DE＝DF，

∴△DEM≌△DFN，

∴S△DEM＝S△DFN，

∴S四边形AMDN＝S四边形AEDF，

∵AD＝6，DF＝2 ，

∴Rt△ADF中，AF＝

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∴