Question

【题目】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．

（1）求证：∠ABE＝∠CAD；

（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．

ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；

ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）.

【解析】

（1）只要证明△BAE≌△ACD；
（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，只要证明BG=AE，BG∥AE即可；
ⅱ）求出四边形BGAE的周长，△ABC的周长即可；

（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，

∵AE＝CD，

∴△BAE≌△ACD，

∴∠ABE＝∠CAD．

（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE是平行四边形．

理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，

∴AG＝AD，AB＝AC，

∴∠GAD＝∠BAC＝60°，

∴△GAB≌△DAC，

∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，

∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，

∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，

∴BG∥AE，

∴四边形AGBE是平行四边形，

ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．

∵BH＝CH＝

∴

∴

∴四边形BGAE的周长＝,△ABC的周长＝3（k+1），

∴四边形AGBE与△ABC的周长比＝