Question

【题目】如图，将边长为8的等边置于平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，过点作于点，将绕着原点逆时针旋转得到，这时，点恰好落在轴上.若动点从原点出发，沿线段向终点运动，动点从点出发，沿线段向终点运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度.设运动的时间为秒．

（1）请直接写出点、点的坐标；

（2）当的面积为时，求的值；

（3）设与相交于点，当为何值时， 与相似？

Answer 1

【答案】（1）, ；（2）；（3）当秒或秒时， 与相似．

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可直接得出A点坐标；再由OC⊥AB可得出OC的长，根据图形旋转不变性的性质可得出OD的长，进而得出D点坐标；

（2）过点E作EG⊥OD于点G，根据等边三角形的性质可知OC平分∠AOB，再根据锐角三角函数的定义求出EG的长，S△OEF=OFEG，OF=OD﹣DF=﹣t即可得出t的值；

（3）由于∠BOD=∠FOP，△OPF∽△ODB和△OPF∽△OBD两种情况进行讨论．

试题解析：解：（1）∵等边△AOB的边长为8，点A在x轴正半轴上，∴A（8，0），∵OC⊥AB，∴∠AOC=30°，∴OC=OAcos30°=8×=，∵△OAC旋转后OC与OD重合，∴D（0， ）；

（2）过点E作EG⊥OD于点G，如图①所示：

∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，∴∠EOG=90°﹣30°=60°，∴EG=OEsin∠EOG=t，又∵S△OEF=OFEG，OF=OD﹣DF=﹣t，由题意可得： （﹣t）t=，解得t=±3；

（3）因为∠BOD=∠FOP，所以应分两种情况讨论：

①当∠FPO=∠BDO=90°时，如图②，∵△OPF∽△ODB，此时OE=OF，∴t=﹣t，解得：t=；

②当∠OFP=∠ODB=90°时，如图③，∵△OPF∽△OBD，∴OF=OE，即（﹣t）=t，解得：t=．

综上所述，当t=秒或t=秒时，△OPF与△OBD相似．