Question

【题目】已知，如图(1)， 为⊙的割线，直线与⊙有公共点, 且,

（1）求证： ; 直线是⊙的切线；

（2）如图（2） , 作弦，使 连接AD、BC,若，求⊙的半径；

（3）如图（3），若⊙的半径为，,,,⊙上是否存在一点 , 使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析； 证明见解析； (2) R=；（3）最小值为

【解析】试题分析：（1）根据已知条件得到，推出△PCA∽△PBC，根据相似三角形的性质得到∠PCA=∠PBC，作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P过直径的一端点C，于是得到结论；

（2）作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到，根据勾股定理得到BE=2，于是得到结论；

（3）取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，连接QO、QM，得到OG=OM=1，根据相似三角形的性质得到，求得QG=QM，根据两点之间线段最短，即可得到结论．

试题解析：（1）①证明：∵PC2=PA×PB，

∴，

∵∠CPA=∠BPC，

∴△PCA∽△PBC，

∴∠PCA=∠PBC，

②作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，

∴∠F+∠FCA=90°，

∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，

∴∠PCA+∠FCA=90°，

∵PC经过直径的一端点C，

∴直线PC是⊙O的切线；

（2）作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，

∵CD⊥AB，

∴AE∥CD，

∴，

∴AD=CE=2，

∵BC=6，

∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：

BE2=CE2+BC2=22+62=40，

∴BE=2，

∴R=；

（3）取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，连接QO、QM，

∵MO=2，

∴OG=OM=1，

∵⊙O的半径r=OQ=，

∴OQ2=OGOM，

∵∠MOQ=∠QOG，

∴△MOQ∽△QOG，

∴，

∴QG=QM，

∴PQ+QM=PQ+QG=PG，

根据两点之间线段最短，

此时PQ+QM=PQ+QG=PG最小，

∴PQ+QM最小值为PG=．