Question

【题目】已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．

（1）填空：∠OBC=　 　°；

（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）.

【解析】

（1）只要证明△OBC是等边三角形即可；

（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．

③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．

（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，

故答案为：60；

（2）∵OB=4，∠ABO=30°，

∴OA=OB=2，AB=OA=2，

∴S△AOC=OAAB=×2×2=2，

∵△BOC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，

∴AC==2，

∴OP=；

（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，如图，

则NE=ONsin60°=x，

∴S△OMN=OMNE=×1.5x×x，

∴y=x2，

∴x=时，y有最大值，最大值=；

②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动，

如图，作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BMsin60°=（8﹣1.5x），

∴y=×ON×MH=﹣x2+2x，

当x=时，y取最大值，y＜；

③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，如图，

MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，

∴y=MNOG=12﹣x，

当x=4时，y有最大值，最大值=2，

综上所述，y有最大值，最大值为．