Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．

（1）判断这个一元二次方程的根的情况；

（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．

Answer 1

【答案】（1）该方程有两个实数根；

（2）等腰三角形的周长为7或8，面积为或2．

【解析】分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（2k-3）2≥0，由此即可得出该方程有两个实数根；

（2）分3为底边长及腰长两种情况考虑：①当3为底边长是，由△=0可求出k值，将其代入原方程可求出三角形的腰长，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积；②当3为腰长时，将x=3代入原方程可求出k值，代入k值可求出等腰三角形的底边长度，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积．综上即可得出结论．

详解：（1）∵△=[-（2k+1）]2-4×4（k-）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0，

∴该方程有两个实数根；

（2）①当3为底边长时，△=（2k-3）2=0，

∴k=，

此时原方程为x2-4x+4=0，

解得：x1=x2=2．

∵2、2、3能组成三角形，

∴三角形的周长为2+2+3=7，三角形的面积为×3×

=；

②当3为腰长时，将x=3代入原方程，得：9-3×（2k+1）+4（k-）=0，

解得：k=2，

此时原方程为x2-5x+6=0，

解得：x1=2，x2=3．

∵2、3、3能组成三角形，

∴三角形的周长为2+3+3=8，三角形的面积为×2×．

综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或．