Question

【题目】已知BD、CE是△ABC的两条高，直线BD、CE相交于点H．

（1）如图，①在图中找出与∠DBA相等的角，并说明理由；

②若∠BAC=100°，求∠DHE的度数；

（2）若△ABC中，∠A=50°，直接写出∠DHE的度数是 ．

Answer 1

【答案】（1）①∠DBA=∠ECA，证明见解析；②80°；（2）50°或130°.

【解析】试题分析：（1）①根据同角的余角的相等即可说明∠DBA=∠ECA，根据四边形的内角和是360°，求得∠DHE的度数；

（2）分△ABC是锐角三角形，钝角三角形两种情况讨论求解即可．

（1）①∠DBA=∠ECA.

证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠DBA＋∠BAD=∠ECA＋∠EAC=90°，

又∵∠BAD=∠EAC，

∴∠DBA=∠ECA；

②∵BD、CE是△ABC的两条高

∴∠HDA=∠HEA=90°

在四边形ADHE中，∠DAE＋∠HDA＋∠DHE＋∠HEA=360°

又∵∠HDA=∠HEA=90°，∠DAE=∠BAC=100°

∴∠DHE=360°－90°－90°－100°=80°

（2）①△ABC是锐角三角形时，∠DHE=180°-50°=130°；

②△ABC是钝角三角形时，∠DHE=∠A=50°；

故答案为：50°或130°．