Question

【题目】已知∠AOB＝150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝60°．

（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD＝∠BOD，求∠DOE的度数；

（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当∠EOC＝∠FOC时，求t的值：

（3）若射线OM绕着O点从OA开始以15度秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON一∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t所在的时间段．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）

Answer 1

【答案】（1）35°．（2）当∠EOC＝∠FOC时，t＝3s或7.5s．（3）①当0＜t≤2时，2∠BON﹣∠BOM＝150°．当4＜t＜12时，2∠BON﹣∠BOM＝210°．

【解析】

（1）根据∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；

（2）分两种情形列出方程即可解决问题；

（3）①当0＜t≤2时，2∠BON﹣∠BOM＝150°．②当4＜t＜12时，2∠BON﹣∠BOM＝210°．用t表示∠BON、∠BOM，求2∠BON一∠BOM的值即可；

解：（1）∵∠AOB＝150°，OE平分∠AOB，

∴∠EOB＝∠AOB＝75°，

∵∠BOC＝60°，∠COD＝∠BOD，

∴∠BOD＝40°，∠COD＝20°，

∴∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°．

（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC＝∠FOC，

∴90﹣15t＝60﹣5t，

∴t＝3．

当OE与OF重合时，15t+5t＝150°，

t＝7.5．

综上所述，当∠EOC＝∠FOC时，t＝3s或7.5s．

（3）①当0＜t≤2时，2∠BON﹣∠BOM＝150°．

理由：∵∠AOM＝15t．∠AON＝∠MON＝7.5t，∠BON＝150°+7.5t，∠BOM＝150°+15t，

∴2∠BON一∠BOM＝2（150°+7.5t）﹣（150°+15t）＝150°

②当4＜t＜12时，2∠BON﹣∠BOM＝210°．

理由：∵∠AOM＝15t．∠AON＝∠MON＝7.5t，∠BON＝210°﹣7.5t，∠BOM＝210°﹣15t，

∴2∠BON一∠BOM＝2（210°﹣7.5t）﹣（210°﹣15t）＝210°（4＜t＜12）．