Question

【题目】提出问题：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；

类比探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF＝GH，理由见解析

【解析】

（1）由正方形的性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．又由∠ADO+∠OAD=90°，可证得∠HAO=∠ADO，继而证得△ABE≌△DAH，可得AE=DH；

（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD＝90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD＝90°．

∴∠HAO＝∠ADO．

在△ABE和△DAH中

，

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE＝DH；

（2）解：EF＝GH．

理由：如图所示：

将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF．

将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH．