Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA=∠OBC．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）求⊙O的半径；

（3）求tan∠BAD．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）⊙O的半径为；（3）．

【解析】试题分析：（1）作OF垂直AB于点F，然后根据角平分线的性质定理即可证得OE=OF，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求得，进而求得 设的半径为r，然后根据得到

解关于r的方程即可求得半径；
（3）证得Rt△ODE∽Rt△ADC，根据相似三角形的性质求得，

即可求得， ，解直角三角形即可求得．

试题解析：

(1)证明：如图，作OF垂直AB于点F，

∵⊙O与BC相切于点E，

∴OE⊥BC,

又∠OBA=∠OBC，

∴OE=OF，

∴AB为的切线 ；

(2)∵∠C=90，AC=3，AB=5，

又D为BC的中点，

∴CD=DB=2，

设⊙O的半径为r，即

∴6+2r+5r=12

∴⊙O的半径为

(3) ，OE⊥BC，

∴OE∥AC，

∴Rt△ODE∽Rt△ADC，

∴，∴，

∴，

∴，

∴．