Question

【题目】《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

（1）【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣ 经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．
（2）【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．
（3）【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．
（4）【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：如图①，抛物线：y= （x﹣2）2﹣ ，

对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），

沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣ （x﹣2）2+

如图②，图象G对应的函数解析式为：y= ；

（3）解：如图③，由题意得：

当y=1时， （x﹣2）2﹣ =1，

解得：x1=2+ ，x2=2﹣ ，

∴C（2﹣ ，1），F（2+ ，1），

当y=1时，﹣ （x﹣2）2+ =1，

解得：x1=3，x2=1，

∴D（1，1），E（3，1），

由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+ 时，函数y随x增大而增大；

（4）解：∵D（1，1），E（3，1），

∴DE=3﹣1=2，

∵S△PDE= DEh≥1，

∴h≥1；

①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m， ]，

∴h= （m﹣2）2﹣ ﹣1≥1，

（m﹣2）2≥10，

m﹣2≥ 或m﹣2≤﹣ ，

m≥2+ 或m≤2﹣ ，

②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，

∵H（2， ），

∴HM= ﹣1= ＜1，

∴点P不可能在DE的上方；

③∵MN=1，

且O（0，0），A（4，0），

∴P不可能在CO（除O点）、OD、EA（除A点）、AF上，

∴P与O或A重合时，符合条件，

∴m=0或m=4；

综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣ 或m≥2+ ．

【解析】（1）把原点（0，0）代入解析式即可求出a的值，

∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣ 经过原点O，

∴0=a（0﹣2）2﹣ ，

a= ，

所以答案是： ；
（2）在0<x<4内翻折函数与点的关于x轴对称类似，横坐标x不变，纵坐标y 变为它的相反数，即-y=,y=;然后分段写出函数关系式；（3）数形结合，观察出自左到右上升的图像对应的x范围即为函数y随x增大而增大的x范围；（4）通过面积不小于1，转化为不等式：S△PDE= DEh≥1，∴h≥1；h为P到DE的距离，经过分析可知，P在原点或在C左侧的抛物线上或F的右侧抛物线上，解不等式即可求出.

【考点精析】利用二次函数图象的平移对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减．