Question

【题目】已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）当b=2，c=﹣3时，求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当c=10时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：当b=2，c=﹣3时，二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

故当x=﹣1时，二次函数取得最小值﹣4

（2）解：当c=10时，二次函数的解析式为y=x2+bx+10，

由题意得，x2+bx+10=1有两个相等是实数根，

∴△=b2﹣36=0，

解得b1=6，b2=﹣6，

∴二次函数的解析式y=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10

（3）解：当c=b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，

图象开口向上，对称轴为直线x=﹣ ，

①当﹣ ＜b，即b＞0时，

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，

∴当x=b时，y=b2+bb+b2=3b2为最小值，

∴3b2=21，解得b1=﹣ （舍去），b2= ；

②当b≤﹣ ≤b+3时，即﹣2≤b≤0，

∴x=﹣ ，y= b2为最小值，

∴ b2=21，解得b1=﹣2 （舍去），b2=2 （舍去）；

③当﹣ ＞b+3，即b＜﹣2，

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，

故当x=b+3时，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9为最小值，

∴3b2+9b+9=21．解得b1=1（舍去），b2=﹣4；

∴b= 时，解析式为：y=x2+ x+7

b=﹣4时，解析式为：y=x2﹣4x+16．

综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2+ x+7或y=x2﹣4x+16

【解析】（1）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；（2）根据当c=10时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；（3）当c=b2时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．
【考点精析】掌握二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．