Question

【题目】如图1，在△ABC中，点DE分别在AB、AC上，DE∥BC，BD=CE，

（1）求证：∠B=∠C，AD=AE；

（2）若∠BAC=90°，把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．

①判断△PMN的形状，并说明理由；

②把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN的最大面积为　 　

Answer 1

【答案】(1)见解析 （2）①△PMN是等腰直角三角形 ②

【解析】

（1）利用平行线分线段成比例定理得出比例式即可得出AB=AC，即可得出结论；
（2）①利用三角形中位线定理和BD=CE，判断出PM=PN，即：△PMN是等腰三角形，再判断出∠MPN=90°，得出△PMN是等腰直角三角形；
②先判断出PM最大时，△PMN面积最大，即：点D在AB的延长线上，进而求出BD=AB+AD=14，即可得出PM的最大值即可．

（1）∵DE∥BC，∴ ，∵BD=CE，∴AB=AC，∴∠B=∠C，

AB﹣BD=AC﹣CD，∴AD=AE，即：∠B=∠C，AD=AE

（2）①△PMN是等腰直角三角形，理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM=CE，PM∥CE，

∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN=BD，PN∥BD，∵BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形

②由①知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在AB的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=PM2=×72= ．