Question

【题目】平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）．

（1）当α=0°时，连接DE，则∠CDE=　 　°，CD=　 　；

（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）若m=10，n=8，当旋转的角度α恰为∠ACB的大小时，求线段BD的长；

（4）若m=6，n=，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．

Answer 1

【答案】（1）90，；（2），无变化，（3）BD=；（4）即：BD=或．

【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE∥AB得即可解决问题．②求出BD、AE即可解决问题．

（2）只要证明△ACE∽△BCD即可．

（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解决问题．

（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，分别求出BD即可．

试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴=．∵BC=n，∴CD=．故答案为：90°，n．

②如图2中，当α=180°时，BD=BC+CD=n，AE=AC+CE=m，∴=．故答案为：．

（2）如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．∵，∴△ACE∽△BCD，∴．

（3）如图4中，当α=∠ACB时．在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB==6．在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，∴AE===3，由（2）可知△ACE∽△BCD，∴，∴=，∴BD=．故答案为：．

（4）∵m=6，n=，∴CE=3，CD=2，AB==2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．在Rt△DBC中，BD===2．

②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴四边形BCEM是矩形，∴，∴AM=5，AE==，由（2）可知=，∴BD=．

故答案为：2或．