Question

【题目】如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．

（1）求∠BCD的度数；

（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转，得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．

①求∠C′CB的度数；

②求证：△C′BD′≌△CAE．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）①75°；②答案见解析．

【解析】试题分析：（1）根据三角形外角性质，即可得到∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°；

（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠CC'B=∠C'CB=75°；

②先根据AC=C'B，∠C'BD'=∠A，得出∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，进而得到∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°，据此可得∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，运用ASA即可判定△C'BD'≌△CAE．

试题解析：解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，∴∠CBA=∠CAB=30°．∵∠ADC=45°，∴∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°=∠BC'D'；

（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，∴∠CC'B=∠C'CB=75°；

②证明：∵AC=C'B，∠C'BD'=∠A，∴∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，∴∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°，∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE．在△C'BD'和△CAE中，，∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．