Question

【题目】如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E．

（1）如图1，猜想∠QEP＝　 　；

（2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明；

（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）∠QEP＝60°．证明见解析；（3）BQ＝3﹣3．

【解析】

（1）如图1，先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出∠PCA=∠QCB，进而可利用SAS证明△CQB≌△CPA，进而得∠CQB=∠CPA，再在△PEM和△CQM中利用三角形的内角和定理即可求得∠QEP=∠QCP，从而完成猜想；

（2）以∠DAC是锐角为例，如图2，仿（1）的证明思路利用SAS证明△ACP≌△BCQ，可得∠APC=∠Q，进一步即可证得结论；

（3）仿（2）可证明△ACP≌△BCQ，于是AP=BQ，再求出AP的长即可，作CH⊥AD于H，如图3，易证∠APC=30°，△ACH为等腰直角三角形，由AC=4可求得CH、PH的长，于是AP可得，问题即得解决．

解：(1)∠QEP=60°；

证明：连接PQ，如图1，由题意得：PC=CQ，且∠PCQ=60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠PCA=∠QCB，

则在△CPA和△CQB中，

，

∴△CQB≌△CPA(SAS)，

∴∠CQB=∠CPA，

又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，

∴∠QEP=∠QCP=60°．

故答案为：60°；

(2)∠QEP=60°．

证明：如图2，∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，

∴CP=CQ，∠PCQ=60°，

∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，

即∠ACP=∠BCQ，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ(SAS)，

∴∠APC=∠Q，

∵∠1=∠2，

∴∠QEP=∠PCQ=60°；

(3)连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，

与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，

∴∠APC=30°，∠CAH=45°，

∴△ACH为等腰直角三角形，

∴AH=CH=AC=×4=，

在Rt△PHC中，PH=CH=，

∴PA=PHAH=－，

∴BQ=－．