Question

【题目】将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°.Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）.点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过C，且BC=2.

（1）求证：△ADC∽△APD；

（2）求△APD的面积；

（3）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角（0°＜＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否会随着的变化而变化，如果不变，请求出的值；反之，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的值不会随着的变化而变化，理由见解析.

【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC-∠EDF计算即可得解；
（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值．

解：（1）证明：由题意知CD是△ABC中斜边AB上的中线，

∴AD=BD=CD.

∵在△BCD中，BD=CD，且∠B=60°，

∴△BCD为等边三角形.

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴∠ACD=90°-60°=30°，∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=30°，

∴∠ACD=∠ADE=30°，又∵∠A是公共角，

∴△ADC∽△APD.

（2）∵△BCD为等边三角形，∴DC=BC=2.

在Rt△PDC中，∠PCD=30°，∴PD=DCtan30°,

由（1）得∠ADE=30°，又∠PAD=90°-60°=30°，

∴△PAD是等腰三角形，∴AP=PD，AD=2，

作PH⊥AD于H，在Rt△PAH中，由∠PAH=30°得，

.

（3）的值不会随着的变化而变化.

∵∠MPD=∠A+∠ADE=60°，

∴∠MPD=∠BCD=60°.

∵在△MPD和△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN= ，

∴△MPD∽△NCD，∴.

∵在△APD中，∠A=∠ADE=30°，

∴在等腰△APD中， ，

∴

“点睛”本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．