Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝CD+AB，∠BAC＝45°，E是BC上一点，且∠DAE＝45°，若BC＝8，则△ADE面积为__．

Answer 1

【答案】

【解析】

过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点F，可得四边形ABCF是正方形，设CD＝m，根据勾股定理可求出m＝2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△AFG，可以证明△ADE≌△ADG，设BE＝n，再根据勾股定理可求DG的长，进而可得△ADG的面积，即可得△ADE的面积．

解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点F，

，

，

．

∴四边形ABCF是矩形．

∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，

∴AB＝BC，

∴四边形ABCF是正方形，

∴AB＝BC＝AF＝CF＝8，

设CD＝m，

则AD＝CD+AB＝m+8，DF＝CF﹣CD＝8﹣m，

在Rt△AFD中，根据勾股定理，得

（m+8）2＝（8﹣m）2+82，

解得m＝2，

∴FD＝6，AD＝10，

将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△AFG，

∴AG＝AE，BE＝FG，∠EAG＝∠BAF＝90°，

∵∠BAC＝45°，∠DAE＝45°，

∴∠BAE＝∠DAC，

∴∠CAE＝∠DAF，

∵∠BAE＝∠FAG，

∴∠DAE＝∠DAG，

AD＝AD，

∴△ADE≌△ADG（SAS），

∴DE＝DG，

设BE＝n，则CE＝BC﹣BE＝8﹣n，DE＝DG＝DF+FG＝DF+BE＝6+n，

在Rt△DCE中，根据勾股定理，得

（6+n）2＝（8﹣n）2+22

解得n＝，

∴DG＝6+＝，

∴S△ADE＝S△ADG＝DG×AF＝×8＝．

故答案为：．