Question

【题目】如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，

∵CE与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CE，

∴∠CDO=90°，

∵AD∥OC，

∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠DOC=∠BOC，

在△CDO和△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CBO=∠CDO=90°，

∴CB是⊙O的切线

（2）由（1）可知∠DOA=∠BCO，∠DOC=∠BOC，

∵∠ECB=60°，

∴∠DCO=∠BCO= ∠ECB=30°，

∴∠DOC=∠BOC=60°，

∴∠DOA=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形，

∴AD=OD=OF，∵∠GOF=∠ADO，

在△ADG和△FOG中，

，

∴△ADG≌△FOG，

∴S△ADG=S△FOG，

∵AB=6，

∴⊙O的半径r=3，

∴S阴=S扇形ODF= = π

【解析】（1）欲证明CB是⊙O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解决问题．（2）首先证明S阴=S扇形ODF ， 然后利用扇形面积公式计算即可．