Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

(1)出发2秒后，求PQ的长；

(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？

(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间；

Answer 1

【答案】（1）PQ=2；（2）t=；（3）t=5.5，t=6，t=6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.

【解析】

（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；

（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：

①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；

②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；

③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．

解：（1）∵∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，

根据勾股定理可得：AC=10

∴BQ=2×2=4cm，BP=AB-AP=8-2×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ=（cm）；

（2）解：根据题意得：BQ=BP，

即2t=8-t，

解得：t=；

即出发时间为：秒时，△PQB是等腰三角形；

（3）解：分三种情况：

①当CQ=BQ时，如图1所示：

则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②当CQ=BC时，如图2所示：

则BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③当BC=BQ时，如图3所示：

过B点作BE⊥AC于点E，

则BE===4.8（cm）

∴CE==3.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，

△BCQ为等腰三角形．