Question

【题目】课外兴趣小组活动时，老师出示了如下问题：如图①，已知在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝AC.

小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD特殊化，再进一步解决该问题．

(1)由特殊情况入手，添加条件：“∠B＝∠D”，如图②，可证AB＋AD＝AC.请你完成此证明．

(2)受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：过C点分别作AB，AD的垂线，垂足分别为点E，F，如图③.请你补全证明过程．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．

（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．

(1)证明：∵∠B＝∠D＝90°，

AC平分∠DAB，

∠DAB＝60°，∴CD＝CB，

∠CAB＝∠CAD＝30°.

设CD＝CB＝x，则AC＝2x.

由勾股定理，得AD＝CD＝x，AB＝CB＝x.

∴AD＋AB＝x＋x＝2x＝AC，即AB＋AD＝AC.

(2)解：由(1)知，AE＋AF＝AC.

∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，

∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°.

∵∠ABC与∠D互补，

∠ABC与∠CBE也互补，

∴∠D＝∠CBE，

∴△CDF≌△CBE(AAS)．

∴DF＝BE.∴AB＋AD＝AB＋(AF＋FD)＝(AB＋BE)＋AF＝AE＋AF＝AC.