Question

【题目】如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2 ， C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．

（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；
（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线C1经过原点，与X轴的另一个交点为（2，0），

∴ ，解得 ，

∴抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x，

∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）

（2）

解：如图1，

∵抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，

∴C2的解析式为y=（x﹣m﹣1）2﹣1，

∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），

过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，

∵△ACD为等腰直角三角形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∴∠CDH+∠ADE=90°

∴∠HCD=∠ADE，

∵∠DEA=90°，

∴△CHD≌△DEA，

∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，

∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，

由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去），

∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1

（3）

解：如图2，连接BC，BP，

由抛物线对称性可知AP=BP，

∵△PAC为等边三角形，

∴AP=BP=CP，∠APC=60°，

∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，

∴∠CBO= ∠CPA=30°，

∴BC=2OC，

∴由勾股定理得OB= = OC，

∴ （m2+2m）=m+2，

解得m1= ，m2=﹣2（舍去），

∴m=

【解析】（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x2+bx+c，求出抛物线C1的解析式，即可求出抛物线C1的顶点坐标，（2）先求出C2的解析式，确定A，B，C的坐标，过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，利用△PAC为等腰直角三角形，求出角的关系可证得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C2的解析式．（3）连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，由△PAC为等边三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，可得BC=2OC，
利用勾股定理求出OB= OC，列出方程求出m的值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．