Question

【题目】已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问：

①若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；

②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，8）；（2）S =﹣4m+16，（0＜m＜4）；（3），理由见解析

【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上点的特点直接求值，
（2）①由点在直线AB上，找出m与n的关系，再用三角形的面积公式求解即可；
②判断出EF最小时，点P的位置，根据三角形的面积公式直接求解即可．

试题解析：

（1）令x=0，则y=8，

∴B（0，8），

令y=0，则﹣2x+8=0，

∴x=4，

∴A（4，0），

（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，

∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），

∴OA=4，

∴0＜m＜4

∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）；

（3）存在，理由如下：

∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，

∴四边形OEPF是矩形，

∴EF=OP，

当OP⊥AB时，此时EF最小，

∵A（4，0），B（0，8），

∴AB=4，

∵S△AOB=OA×OB=AB×OP，

∴OP= ，

∴EF最小=OP=．