Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为圆心， m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方）．点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．
（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？
（3）连接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①，连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M．

由题意可知，OM=PM=m，PB= m．

在Rt△PBM中，由勾股定理得：

BM= = =2m，

∴OB=OM+BM=m+2m=3m，

∴B（3m，0）；

连接PD，过点P作PN⊥y轴于点N，同理可求得DN=2m，OD=3m．

过点D作DR⊥PE于点R，

∵平行四边形DOPE，∴∠ODE+∠DOP=180°；

由题意可知，∠DOP=45°，∴∠ODE=135°，

∴∠EDR=45°，即△EDR为等腰直角三角形，

∴ER=DR=OM=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m，

∴E（m，4m）

（2）解：相等．理由如下：

依题意画出图形，如图②所示．

由（1）知，∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°，

又OB=OD=3m，即△OBD为等腰直角三角形，∴∠BDO=45°，

∴∠BDE=90°，即△BDE为直角三角形．

由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，∴∠BQE=90°．

过点E作EK⊥y轴于点K，则有EK=m，OK=4m．

∵∠BQE=90°，∴∠EQK+∠BQO=90°，又∠BQO+∠QBO=90°，

∴∠EQK=∠QBO．

∴Rt△EQK∽Rt△QBO，

∴ ，即 ，解得OQ=m或OQ=3m，

∵点Q与点D不重合，∴OQ=m，

∴OQ=EK，即相似比为1，此时两个三角形全等，

∴BQ=EQ

（3）解：如图②所示，连接BC．

由（1）可知，如图①，CD=2DQ=4m，∴OC=CD﹣OD=m．

由（2）可知，△BDE为直角三角形，△EDK与△BDO均为等腰直角三角形，

∴DE= EK= m，BD= OB=3 m．

在Rt△BDE与Rt△BOC中，OC=m，OB=3m，DE= m，BD=3 m，

∴ ，∴Rt△BDE∽Rt△BOC，

∴∠OBC=∠DBE，

∴∠DBC﹣∠DBE=（∠OBD+∠OBC）﹣∠DBE=∠OBD=45°．

【解析】（1）如图①所示，过点P作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，利用垂径定理与勾股定理求出点B的坐标；同理可求得点D的坐标，过点D作DR⊥PE于点R，则△EDR为等腰直角三角形，从而求出点E的坐标；（2）如图②所示，首先推出△BDE为直角三角形，由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，因此∠BQE=90°；然后证明Rt△EQK∽Rt△QBO，通过计算线段之间的比例关系，可以得到这两个三角形全等，所以BQ=EQ；（3）如图②所示，本问要点是证明Rt△BDE∽Rt△BOC，得到∠OBC=∠DBE，进而计算可得∠DBC﹣∠DBE=45°．